以下是关于Google浏览器支持远程登录同步下载版本的内容：
一、通过谷歌账户实现同步
1. 登录谷歌账户：在Google浏览器中，点击浏览器右上角的三个点图标，选择“设置”。在设置页面中，找到“用户和浏览器”部分，然后点击“同步和谷歌服务”。在这里，使用谷歌账户进行登录。如果还没有谷歌账户，可以点击“添加用户”或“创建新账户”来注册一个新的谷歌账户。登录成功后，浏览器会开始与谷歌的服务器进行数据同步。
2. 开启同步设置：登录后，在“同步和谷歌服务”页面中，可以看到各种同步选项。确保勾选“同步所有内容”或者至少勾选“书签”“历史记录”“密码”“扩展程序”等需要同步的内容选项。这样，当在其他设备上使用同一谷歌账户登录Google浏览器时，这些数据就会自动同步到新的设备上，包括浏览器的版本信息。例如，如果在电脑上安装了某个新的扩展程序并开启了同步，那么在手机上使用同一账户登录浏览器时，该扩展程序也会被同步安装到手机浏览器上。
3. 保持浏览器版本一致：为了确保远程登录后能够正常使用同步功能并且下载版本一致，需要保证各个设备上的Google浏览器都更新到最新版本。在浏览器的设置页面中，找到“关于Chrome”选项，点击后浏览器会自动检查更新并提示用户进行更新操作。更新到最新版本后，再次进行远程登录时，就能够保证下载的版本是相同的，避免因版本差异导致的功能不兼容等问题。
二、利用远程桌面软件辅助
1. 安装远程桌面软件：如果需要在远程设备上直接操作Google浏览器并进行下载等操作，可以使用远程桌面软件。常见的远程桌面软件有TeamViewer、AnyDesk等。在本地电脑和远程设备上都安装好相同的远程桌面软件，并进行相应的注册和设置。例如，在TeamViewer中，需要获取对方的计算机ID和密码才能进行连接。
2. 连接远程设备：打开本地电脑上的远程桌面软件，输入远程设备的计算机ID和密码（如果需要），然后点击连接按钮。连接成功后，就可以在本地电脑上操作远程设备了。此时，打开远程设备上的Google浏览器，由于之前已经通过谷歌账户进行了同步设置，所以浏览器的版本和相关设置都会与本地设备保持一致。这样就可以在远程设备上进行文件下载等操作，并且下载的版本也会与本地浏览器保持一致。
3. 注意事项：在使用远程桌面软件时，要确保网络连接稳定，以免出现断线等情况导致操作失败。同时，要注意保护好远程桌面软件的账号信息和密码，避免被他人非法使用。另外，有些远程桌面软件可能需要付费才能获得更好的使用体验和更多的功能，用户可以根据自己的需求选择合适的软件版本。